16. GERECHT GETEILT

Lieber Erdling,

na, hast Du schon Deine Freunde mit meinem kleinen Trick verzaubert? Weißt Du, was lustig ist?! Kaum hatte ich Dir meinen letzten Brief geschickt, da fiel ein neues Quirkblatt herunter. Rudi ist natürlich gleich ganz aufgeregt durch den Garten gedüst und war in Null-Komma-Nix wieder neben mir. Ehm, wie hat er nebenbei eigentlich auch seinen Taschenrechner geholt? Habe ich gar nicht gesehen. Egal, er hat ihn in der Hand und ist auch schon fleißig am tippen. Na gut, ich lese derweil erstmal, was auf dem Quirkblatt diesmal steht:

Ist 62015 – 1 durch 5 ohne Rest teilbar?

Du darfst einen Taschenrechner benutzen, wenn Du möchtest.

Hmm, das ist doch keine schwierige Frage. Okay, 62015 – 1 ist sicherlich eine große Zahl, aber 62015 – 1 kann man ja direkt in einen Taschenrechner tippen und dann durch 5 dividieren. Auch wenn Dein Taschenrechner hier vielleicht den Geist aufgibt, können moderne Taschenrechner das ganz flink ausrechnen, auch wenn Du mir das vielleicht nicht glauben magst. Aber das ist wirklich so! Ohje, so wie Rudi flucht, ist sein Taschenrechner wohl eher ein älteres Modell. Grins.

Na gut, dann überlegen wir doch mal. Wann lässt sich eine Zahl eigentlich ohne Rest durch 5 teilen? Na, das ist eigentlich gar nicht so schwer: 0, 5, 10, 15, 20, … Sicher hast Du die Antwort schon längst gekannt, oder?! Die Zahl muss auf 0 oder auf 5 enden, damit sie ohne Rest durch 5 teilbar ist. Okay, aber auf welche Ziffer endet 62015 – 1? Woher sollen wir das wissen, wenn wir diese Zahl gar nicht berechnen können? Zumindest nicht ohne einen neueren Taschenrechner. Fangen wir doch einfach mal klein an:

     61 = 6

     62 = 36

     63 = 216

     64 = 1296

     65 = 7776

Hey! Scheinbar enden die Zahlen immer auf 6. Ganz klar, wenn wir 7776 erneut mit 6 multiplizieren, dann endet diese Zahl wieder auf 6, da 6×6 auf 6 endet. Wir brauchen 7776×6 dafür gar nicht auszurechnen, um das zu wissen! Wir multiplizieren also immer wieder mit 6, bis wir 62015 erreicht haben und diese Zahl muss auch auf 6 enden. Also endet 62015 – 1 auf 5 und ist damit durch 5 teilbar. Wir schreiben also „Ja.“ auf das Quirkblatt und es löst sich in einer glitzernden Sternenwolke auf.

Naja, die Quirkblatt-Frage war diesmal doch etwas zu einfach. Uns ist irgendwie gar nicht nach tanzen zumute, obwohl wir das Problem gelöst haben. „Wann ist eine Zahl eigentlich ohne Rest durch 2, 3, 4 und so weiter teilbar? Kann man das auch so leicht testen?“, fragt mich Rudi. Das ist eine gute Frage. Für 5 haben wir das ja schon geklärt. Ob eine Zahl durch 2 ohne Rest teilbar ist, ist auch einfach zu testen: die Zahl muss gerade sein, also auf 0, 2, 4, 6 oder 8 enden. Eine Zahl ist durch 10 ohne Rest teilbar, genau dann, wenn sie auf eine 0 endet. Aber wie ist es mit der 3? Wann kann man eine Zahl ohne Rest durch 3 teilen? Hmm. Ich glaube mich da an eine Regel erinnern zu können, die mir mal ein Freund verraten hat: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Was? Du weißt nicht, was die Quersumme einer Zahl ist? Ach, nicht so schlimm. Ist auch ganz einfach. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme von 12345 ist also 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. 15 ist durch 3 teilbar und damit auch 12345. Tipp, tipp, in Taschenrechner tipp. „Richtig.“, stimmt Rudi mir zu. „Aber warum funktioniert diese Regel?“

Ah! Jetzt erinnere ich mich wieder an die Worte meines Freundes. 12345 ist eigentlich nur eine Abkürzung für folgende Summe:

1×10000 + 2×1000 + 3×100 + 4×10 + 5×1

Und wenn wir von 12345 eine Zahl abziehen, von der wir wissen, dass sie durch 3 teilbar ist, dann lässt das Ergebnis beim Teilen durch 3 den gleichen Rest wie 12345. Na, wir wissen, dass 9999, 999, 99 und 9 durch 3 teilbar sind. Ziehen wir doch mal

1×9999 + 2×999 + 3×99 + 4×9 + 5×0

von 12345 ab:

Ha! Da bleibt genau 1 + 2 + 3 + 4 + 5, also die Quersumme von 12345, übrig. Also ist 12345 genau dann durch 3 teilbar, wenn 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 dies ist. Und bei 15 können wir das sogar im Kopf überprüfen!

Der gleiche Trick funktioniert übrigens, um Teilbarkeit durch 9 zu überprüfen, da 9999, 999, 99 und 9 offensichtlich auch durch 9 teilbar sind. Also lässt 12345 beim Teilen durch 9 den gleichen Rest wie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, also 6. Ohne Taschenrechner wissen wir also sofort, dass 12345 nicht durch 9 teilbar ist. (Zumindest nicht ohne Rest.) 123456789 ist dagegen durch 9 teilbar, da

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

durch 9 teilbar ist. Cool.

Wie sieht es mit Teilbarkeit durch 4 aus? Naja, da 100 durch 4 teilbar ist und da 12345 = 123×100 + 45,  lässt 12345 beim Teilen durch 4 den gleichen Rest wie 45. 45 ist nicht durch 4 teilbar, also auch nicht 12345. 12344 ist dagegen durch 4 teilbar, weil 44 durch 4 teilbar ist.

Ein ähnlicher Trick funktioniert bei Teilbarkeit durch 8. Da 1000 durch 8 teilbar ist und 12345 = 12×1000 + 344, lässt 12344 beim Teilen durch 4 den gleichen Rest wie 344. 344 ist durch 8 teilbar und somit auch 12344.

Es gibt noch weitere Teilbarkeitsregeln. In einem späteren Brief werde ich Dir noch Regeln für Teilbarkeit durch 7, 11, 13 und sogar 37 erklären. Aber für heute soll es erstmal reichen. (Achja, durch 6 ist eine Zahl übrigens teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.)

Dann mal viel Spaß beim Teilen! Du kannst ja zum Beispiel mal überprüfen, ob 123456 durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 beziehungsweise 10 ohne Rest teilbar ist oder nicht.

Liebe Grüße
Deine 3,7

PS: Achja, auch für Teilbarkeit haben Mathematiker einen Geheimcode. Sie schreiben 3|12345 und 412345 und meinen damit, dass 12345 durch 3 aber nicht durch 4 teilbar ist. Sie lesen dies als „3 teilt 12345“ und „4 teilt nicht 12345“.

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