Lieber Erdling,
na, wie geht es Dir? Rudi und ich haben heute wieder unsere unendliche Reihe von Dominosteinen aufgebaut. Jeweils einen dicht nach dem anderen. Wieder haben wir auf den ersten eine 1, auf den zweiten eine 2 und so weiter gemalt. Jeder Stein bekam die Zahl, die um 1 größer war als die auf dem Stein davor. Dann stuppste Rudi den Stein mit der Zahl 1 um und es machte wieder so herrlich klack, klack, klack. Das ist immer wieder ein Gaudi! Nach und nach fiel jeder der unendlich vielen Dominosteine um! Einer nach dem anderen.
Kannst Du Dir vorstellen, dass dieser so unglaublich einfache Domino-Effekt eine grundlegende Beweistechnik im Werkzeugkasten eines Mathematikers ist??? Unglaublich, aber so ist es! Die Grundidee ist die folgende: Wenn man etwas beweisen möchte, das für alle natürlichen Zahlen gelten soll, dann braucht man lediglich zwei einfachere Dinge zu beweisen:
(a) Die Aussage gilt für die Zahl 1. (Der erste Dominostein fällt um.)
(b) Wenn die Aussage für eine beliebige Zahl k gilt, so gilt sie auch für die Zahl k+1. (Wenn der Dominostein mit der Zahl k fällt, so fällt auch der nachfolgende Dominostein mit der Zahl k+1.)
Der erste Stein fällt um (= die Aussage ist richtig für die Zahl 1), dieser stößt nach der zweiten Bedingung den zweiten Stein um (= die Aussage ist richtig für die Zahl 2), dieser stößt wiederum den dritten Stein um (= die Aussage ist richtig für die Zahl 3), und so weiter. Alle Dominosteine fallen um (= die Aussage ist richtig für alle natürlichen Zahlen).
Das war jetzt nicht so klar? Nun gut. Dann schauen wir uns doch mal ein einfaches Beispiel an, das letztens mal auf einem Quirkblatt gestanden ist:
Wie viel ist 20 + 21 + 22 + 23 +…+ 2n für beliebiges n? Finde eine Formel!
Naja, zuerst müssen wir erstmal eine Vermutung haben, wie die Formel denn aussehen könnte. Also lass uns mal kleine Werte für n probieren:
n = 0: 1 = 1 = 21-1
n = 1: 1+2 = 3 = 22-1
n = 2: 1+2+4 = 7 = 23-1
n = 3: 1+2+4+8 = 15 = 24-1
n = 4: 1+2+4+8+16 = 31 = 25-1
n = 5: 1+2+4+8+16+32 = 63 = 26-1
n = 6: 1+2+4+8+16+32+64 = 127 = 27-1
Das lässt uns ziemlich schnell vermuten, dass
20 + 21 + 22 + 23 +…+ 2n = 2n+1 – 1
für beliebiges n = 0, 1, 2, …, aber können wir das auch beweisen? Für die Zahlen n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 haben wir das ja gerade schon nachgerechnet. Unsere ersten Dominosteine fallen also definitiv schon mal um! Teil a) haben wir also schon bewiesen! Teil b) ist auch nicht so schwer. Wir wissen, der Dominostein mit der Zahl k fällt um, also die Aussage
20 + 21 + 22 + 23 +…+ 2k = 2k+1 – 1
stimmt. Und was wollen wir beweisen? Beweisen wollen wir, dass damit auch der Dominostein mit der Zahl k+1 umfällt, also dass die Aussage
20 + 21 + 22 + 23 +…+ 2k+1 = 2k+2 – 1
gilt. (Es ist oft gut, wenn man sich einfach mal aufschreibt, was man weiß und was man zeigen möchte. Dann sieht man oft schon die Lösung.) Die Lösung ist nun wirklich gar nicht mehr so schwer.
Schau Dir genau an, wo wir unser Wissen, dass der Dominostein k umfällt benutzt haben!
Damit haben wir gezeigt, dass Dominostein 1 umfällt und jeder fallende Dominostein den nächsten mit umwirft. Es fällt also jeder Dominostein irgendwann um und unsere Formel
20 + 21 + 22 + 23 +…+ 2n = 2n+1 – 1
gilt für jedes beliebige n = 0, 1, 2, 3, … und wir haben das gerade mathematisch sauber bewiesen! Wow. Mit Dominosteinen!
Mathematiker verstehen es auch hier, dieses einfache Beweisprinzip in ihrer Geheimsprache gut zu verstecken. Sie nennen diese lustige Domino-Beweistechnik ganz schnöde vollständige Induktion. Und dann wundern sie sich, dass sie niemand versteht. Seufz. Aber so langsam verstehst Du diese Geheimsprache ja besser, oder?!
Was jetzt?! Du verstehst meine Begeisterung für die Formel nicht, die wir gerade bewiesen haben?! Hmm, dann sollte ich Dir vielleicht eine Geschichte erzählen, die sich vor langer Zeit auf Deinem Heimatplaneten in Indien abgespielt haben soll. Diese Legende erzählt, dass der weise Brahmane Sissa ein Spiel erfand, in dem der Herrscher die wichtigste Spielfigur war: Das Schachspiel. Als Dank gewährte ihm der indische Herrscher Shihram, der sein Volk ausbeutete, einen freien Wunsch. Sissa wünschte sich lediglich Weizenkörner auf dem Schachbrett. Auf das erste Feld wünschte er sich ein Weizenkorn, auf das zweite Feld 2 Körner, auf das dritte Feld 4 Körner und so weiter. Auf jedes nächste Feld sollten immer doppelt so viele Weizenkörner wie zuvor. Der Herrscher lachte, weil er den weisen Brahmanen Sissa für bescheiden und dumm hielt! Er gewährte Sissa den Wunsch und musste kurz später schockiert mit ansehen, wie Sissa seinen gesamten Weizenvorrat unter dem leidenden Volk verteilte.
Was?! So viel kann das nicht gewesen sein?! Hihi. Dann überlege Dir doch einmal, wie viele Reiskörner am Ende auf dem Schachbrett lagen! Es sind
20 + 21 + 22 + 23 +…+ 263 = 264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
Weizenkörner! (Na, erinnerst Du Dich noch, wie man diese Zahl liest? Es sind 18 Trillionen 446 Billiarden 744 Billionen 73 Milliarden 709 Millionen 551 Tausend 615.) Das ist eine unvorstellbar große Zahl! Angenommen, ein Weizenkorn wiegt etwa 0,05 Gramm. Dann liegen auf dem Schachbrett über 922 Milliarden Tonnen Weizen. Das ist mehr als das Tausendfache der Jahresernte an Weizen auf Deinem gesamten Heimatplaneten!!!
Du siehst, es wäre gut gewesen, wenn der indische Herrscher ein wenig mehr mit Dominosteinen gespielt und im Mathe-Unterricht aufgepasst hätte.
So, Rudi und ich werden jetzt mal schauen, ob wir uns noch an die Schachregeln erinnern können und werden ein Spiel wagen.
Bis demnächst!
Deine 3,7
