Lieber Erdling,
na, hast Du die Stockpeilung aus meinem Brief mal bei einem Spaziergang ausprobiert? Aha, Du gehst nicht so gern wandern?! Na gut, trotzdem ist dieser Ähnlichkeitssatz echt nützlich, auch wenn er oft anders zur Anwendung kommt, nämlich als sogenannter Dreisatz. Diesen Brief solltest Du besser nicht Deinen Eltern zum Lesen geben. Das Wort Dreisatz ruft bei vielen Erwachsenen einen Schauer und Gänsehaut hervor. Frag mich bloß nicht warum. Wahrscheinlich mussten sie als Kind hier wilde Formeln auswendig lernen und diese wieder und wieder benutzen, ohne wirklich verstanden zu haben, warum das alles funktioniert. Da würde ich mich auch davor gruseln.
Dabei ist das gar nichts Schlimmes! Und vor allem: fast jeder Erwachsene wendet diesen Dreisatz trotzdem fast jeden Tag an und ist sich dessen gar nicht bewusst. Hihi. Kleines Beispiel?! Naja, stell Dir vor, Du willst etwas für 3 Personen kochen und Du folgst einem Rezept für 2 Personen das sagt: Nimm 3 Löffel Olivenöl. Wieviele Löffel solltest Du für Dein 3-Personen-Gericht nehmen? Na?! Genau! Dein Essen für 3 Personen ist ähnlich wie das Essen für 2 Personen, aber eben etwas „aufgeblasen“ beziehungsweise gestreckt (hier um den Fakter 3 : 2 = 1,5). Ganz klar, Du brauchst also 3 · 1,5 = 4,5 Löffel. Glaub mir, das kann so ziemlich jeder Erwachsene ohne Nachdenken ausrechnen. Doch sagst Du dem Erwachsenen, dass er gerade den Dreisatz benutzt hat, bekommt er vielleicht trotzdem Gänsehaut. Hihi.
Du fragst Dich sicherlich, warum der Dreisatz Dreisatz heißt, oder?! Naja, von 4 Werten sind 3 bekannt und mit Hilfe der Ähnlichkeitsbeziehung können wir den fehlenden Wert ausrechnen. Zumindest glaub ich, dass der Satz deshalb so heißt. Vielleicht hat ihn auch einfach nur ein Herr oder eine Frau Drei gefunden und der Satz ist später nach dieser Person benannt worden.
Den Dreisatz kannst Du Dir übrigens auch anders aufschreiben:
2 Personen ≙ 3 Löffel
3 Personen ≙ x Löffel
Und egal, wo das x jetzt steht, gibt es eine ganz einfache Regel, wie Du x ausrechnen kannst:
Multipliziere die beiden Zahlen auf der Diagonalen ohne x (also 3·3) und dividiere durch die dritte Zahl (also durch 2).
Du erhältst dann
x = 3 · 3 : 2 = 4,5.
Das ist die Formel oder Regel, die Du in der Schule lernst. Dahinter steckt keine Zauberei, sondern lediglich ein einfaches Rezept, wie man x aus der Ähnlichkeitsformel
3 Personen : 2 Personen = x Löffel : 3 Löffel
findet. Und zwar egal, wie man diese Ähnlichkeitsformel aufgeschrieben hat. Wir hätten zum Beispiel auch
2 Personen : 3 Personen = 3 Löffel : x Löffel
schreiben können. Oder in anderer Schreibweise:
3 Personen ≙ x Löffel
2 Personen ≙ 3 Löffel
Und wieder funktioniert die Regel wunderbar:
3 · 3 : 2 = 4,5.
Aber nun stell Dir vor, Du hast einen rabenschwarzen Tag! Dir fällt weder ein, wie Du die Ähnlichkeitsformel
3 Personen : 2 Personen = x Löffel : 3 Löffel
aufstellst, noch wie Du aus
2 Personen ≙ 3 Löffel
3 Personen ≙ x Löffel
das x mit Hilfe der einfachen Formel bestimmst. Wahrlich ein rabenschwarzer Tag! Was nun? Na?! Genau! Da könnte wieder ein wenig nachdenken helfen, vielleicht können wir uns die Lösung auch noch anders herleiten.
Also, wenn wir für 2 Personen 3 Löffel Öl benötigen, wieviel benötigen wir dann für eine Person? Na, das ist nicht schwierig, oder?! 3 : 2 = 1,5 Löffel. Und wieviel benötigen wir dann für 3 Personen? Klar, 3 mal soviele, also 3 · 3 : 2 = 4,5 Löffel. Hey, das war doch genau unsere vergessene Formel! Jaja, viele Wege führen nach Pirk. Oder nach Rom, wie man bei Dir sagt. Hier nochmal die Rechnung anders aufgeschrieben:
2 Personen ≙ 3 Löffel
1 Person ≙ 3 : 2 = 1,5 Löffel
3 Personen ≙ 3 · 1,5 = 4,5 Löffel
Jetzt kannst Du bestimmt auch folgende Aufgabe lösen:
Wenn 15 Lutscher 2,40 Euro kosten, wieviel kosten dann 25 Lutscher?
”Ich hasse Lutscher!“, ruft da Rudi gleich mit angewidertem Gesicht. ”Ach, Rudi! Es ist doch egal, ob wir nun für 2,40 Euro Lutscher oder Kaugummis kaufen.“ Rudi schüttelt seinen Kopf. ”Ich will lieber Kaugummi!“ Seufz.
Na, hast Du Dir schon das Wichtigste notiert?
15 Lutscher ≙ 2,40 Euro
25 Lutscher ≙ x Euro
Ohje, Deine erste Aufgabe und Dir fällt schon wieder die Formel nicht mehr ein?! Kein Problem! Nachdenken! Was kostet denn ein Lutscher?
2,40 Euro : 15 = 0,16 Euro.
25 Lutscher kosten dann 25 mal soviel, also 25·0,16 Euro = 4,00 Euro. Deine vergessene Formel ging übrigens so:
Multipliziere die beiden Zahlen auf der Diagonalen ohne x (also 25 · 2,40) und dividiere durch die dritte Zahl (also durch 15). Du erhältst dann
x = 25 · 2,4 : 15 = 4.
”Ich will aber lieber Kaugummi!“ Na gut, vielleicht kannst Du Rudi diesmal alleine helfen:
Wenn man für 5,10 Euro 30 Kaugummi kaufen kann, wie viele Kaugummi kann man dann für 10,37 Euro kaufen?
So, Rudi sieht jetzt ganz glücklich aus und ist schon fleißig am rechnen. Du auch? Na, dann bin ich ja mal gespannt, wer von Euch beiden das richtige Ergebnis zuerst herausbekommt.
Viel Spaß!
Deine 3,7
Die Aufgabe heißt Dreisatz, welcher aber oben mit der Verhältnisgleichung erklärt wird.
Dann wird an diesem Beispiel spekuliert, warum es Dreisatz heißt, wobei da wie gesagt die Verhältnisgleichung angewandt wird.
Der eigentliche Dreisatz kommt erst weiter unten zur Anwendung. (Man kann ja ausrechnen, wie viel 1 Person braucht…)
Deswegen heißt der Dreisatz (meinem Erkenntnisstand zufolge) auch Dreisatz, da man 3 “Gleichungen“ hat. Es gibt ja auch noch vorher den Zweisatz, also wenn man es nur für eine Person ausrechnet bzw. Man es in einem Rechenschritt lösen kann. Bei dem Zweisatz sind ebenfalls 3 von 4 Werten bekannt, also passt die Herleitung nicht.
Hallo Anja, interessanter Kommentar. 🙂 Ich selbst bin ohne das Wort Dreisatz groß geworden und auch wenn ich es letztlich bis zum Mathe-Prof geschafft habe, hast Du mir heute etwas Neues beigebracht: es gibt tatsächlich auch den Zweisatz! 😀 Man lernt nie aus.
Ich denke, 3,7 gibt in Ihrem Brief nur Ihre Vermutung ab, warum der Dreisatz so heißen könnte. Das ist sicherlich hin und wieder auch mit einem Augenzwinkern zu sehen. (Siehe z.B. auch Brief 18 zum Sortieren.) Vielleicht kennt sie sich auch mit den irdischen Begriffen nicht ganz so gut aus und hat nur mal in Wikipedia nachgeschaut (falls das von Pirk aus möglich ist). Dort stehen unter „Dreisatz“ Ihre und Deine mögliche Herkunftsangabe. Interessant ist, dass schon Adam Ries diese Regel als „regola de tri“ bezeichnet hat.
Und zu guter Letzt: 3,7 ist sicherlich keine irdische Mathematik-Pädagogin. Sie schreibt uns Erdlingen lediglich über Ihre quasi kindliche Begeisterung, über den Spaß, den Mathematik machen kann und will uns so neugierig machen, dass Mathematik genauso begeistern kann wie ein tolles Musikstück oder Gemälde. Das mathematische Äquivalent zu einer Sonate von Mozart oder einem Bild von van Gogh bekommt aber niemand zu seinen Schulzeiten je zu sehen…leider.