Lieber Erdling,
wie geht’s Dir heute? Hast Du auch schon mal erlebt, dass sich eine anfangs trivial erscheinende Frage als viel komplexer herausstellte? Genau das haben Rudi und ich heute erlebt. Alles begann mit einem neuen Quirkblatt, das sanft herab schwebte.
I + I =
Rudi dachte gar nicht lange nach und schrieb „2“ als Antwort. Puff! Und seine Antwort löste sich in rotem Rauch auf. Aber das Blatt blieb liegen. „Was???“ Rudi plumpste verdutzt auf seinen Popo. Hmm…vielleicht lag es ja an seiner Drachenklaue. Er schrieb noch einmal, diesmal aber fein säuberlich „2“ auf das Quirkblatt und biss sich dabei fast auf seine Zungenspitze. Aber wieder…puff und roter Rauch. „Das kann doch gar nicht sein!“
Tja, lieber Erdling, es ist schon viele Quirkblätter her, dass wir mal bei einer Antwort falsch lagen und uns erst nach viel Knobelei und Nachdenken unser Denkfehler auffiel. Das kann schon mal passieren. So etwas wie hier ist uns aber noch nie untergekommen! Die Antwort ist doch scheinbar so offensichtlich! Wo ist also unser Denkfehler?
Nunja, ich hab uns erstmal einen leckeren Kakao gemacht…Rudi war noch viel zu aufgebracht zum Nachdenken…und wir setzten uns gemütlich in den Garten und dachten ganz angestrengt nach. Dann fiel mir die Geschichte mit Adam und den natürlichen Zahlen ein, von der ich Dir in meinem letzten Brief erzählt habe. Adam zählte ja I, II, III, IIII und so fort, als er seine Stöcke für ein Feuer einsammelte. Vielleicht ist also:
I + I = II
Und…plopp…und Glitzer…und das Quirkblatt verschwand. „Pah!“, stieß Rudi ganz empört hervor. „Das war ja eine ganz blöde Aufgabe!“, grummelte er in sich hinein. „Hmm, Rudi, ich denke, das war sie nicht. Wer hat denn eigentlich festgelegt, dass 1 + 1 = 2 gilt?“. Rudi fing an zu lachen. „Na, dass weiß doch schon jedes Drachen-Baby!“
Ich tippe mal, das war gerade auch Dein Gedanke, oder?! Aber irgendjemand muss dies doch mal festgelegt haben. Wie jetzt?! Du meinst, das war Adam damals bei seiner Garten-Party im Paradies?! Lach. Guter Punkt, aber dann schau doch mal auf Deinem Planeten nach China, dort sehen die natürlichen Zahlen ganz anders aus. Erden-Chinesen werden Dir also wahrscheinlich nicht so einfach zustimmen, dass 1 + 1 = 2 ist.
Als ich das Rudi erzähle, ist er total verblüfft. „Und wie viel ist dann 1 + 1 in China? Erden-Chinesen kennen doch bestimmt auch die natürlichen Zahlen“. Ja, das ist eine gute Frage. „Natürlich kennen auch Erden-Chinesen natürliche Zahlen. Sie zählen damit genau so wie alle anderen Erdlinge und auch Pirks hier bei uns.“, beginne ich. „Und wie alle Flugdrachen?“, wirft Rudi fragend ein. „Ja, und wie alle Flugdrachen.“, antworte ich. „Sie schreiben und lesen die natürlichen Zahlen anders als wir, aber die Zahlen selbst, das was sie bedeuten, ist bei Ihnen dasselbe wie überall. In allen bekannten und unbekannten Universen. Es sind halt wirklich natürliche Zahlen.“ Wow, jetzt habe ich Rudi echt beeindruckt.
„Rudi, wahrscheinlich gibt es irgendwo in diesem oder in einem anderen Universum einen Planeten, auf dem man anstatt 1, 2, 3 zählt „Apfel, Birne, Orange“, aber darunter das Gleiche versteht, als wenn andere 1, 2, 3 oder Eins, Zwei, Drei, oder One, Two, Three oder was auch immer dazu sagen. Entsprechend wäre dann auf diesem Planeten Apfel + Apfel = Birne.“ Da muss Rudi wieder grinsen. „Man kann also doch Äpfel mit Birnen vergleichen oder zumindest mit ihnen rechnen.“ Sagt er und kugelt über den Rasen.
Na, hast Du den Unterschied zwischen dem Objekt oder Ding „1“ und seiner Bezeichnung durch verschiedene Erdlinge oder sonstige Universumsbewohner verstanden? Nein?! Nun, dann überleg mal: Wärst Du plötzlich ein ganz anderer Erdling, nur weil Dich jemand bei einem anderen Namen ruft, auf den Dich die meisten anderen Erdlinge rufen? Nein, stimmt’s?! Denn Du bist Du, ein bestimmter Erdling mit all seinen positiven und negativen Eigenschaften. Und so ist es mit der 1. Sie wird überall anders geschrieben und gesprochen, aber sie hat überall die gleiche Bedeutung.
Natürlich sind Mathematiker mal wieder anders als alle anderen. Irgendwann hatten sie die Nase voll und haben ganz genau definiert, was die natürlichen Zahlen sein sollen, damit da immer Klarheit herrscht. Diese grundlegende Definition nennen sie noch heute Peano-Axiome, benannt nach dem italienischen Erdling Giuseppe Peano (1858-1932), der diese Axiome 1889 Deiner Erden-Zeit aufgeschrieben hat. (Für so etwas Natürliches wie die natürlichen Zahlen ist das echt ziemlich spät gewesen, was?!)
Was, Du weißt nicht, was Axiome sind? Puh…was lernt Ihr eigentlich bei Euch im Kindergarten?? Ein Axiom ist eine als wahr angenommene Aussage. (Sie ist so grundlegend, dass man sie nicht beweisen kann oder braucht.) Axiome sind also grundlegende angenommene Wahrheiten, aus denen sich dann andere Wahrheiten ableiten lassen. Auf diesen Axiomen (= Bausteinen) baut sich dann eine Theorie (= Haus/Gebäude) auf.
Zum Beispiel lernst Du in der Schule, dass in der Euklidischen Ebene zwei verschiedene Geraden entweder parallel sind oder sich in genau einem Punkt schneiden. Zwei Axiome der auf Deinem Planeten so beliebten Euklidischen Geometrie. Ob sich zwei parallele Gerade nun wirklich nicht im Unendlichen schneiden, kannst Du entweder als wahr oder als falsch annehmen. (Das weiß kein Erdling, weil kein Erdling je im Unendlichen war.) In Deiner Schul-Geometrie sollen sie sich nicht schneiden. Und damit funktioniert alles so weit ganz gut.
Es mag Dich aber überraschen, denn es gibt Welten, die sind fast identisch zu Deiner, aber in diesen Welten schneiden sich auch parallele Geraden tatsächlich im Unendlichen! Verrückte Dinge gibt es, was?! Dort gelten also andere grundlegende Axiome, auf denen diese Welt aufbaut. Die Axiome dieser sogenannten projektiven Welten widersprechen zwar den Axiomen in Deiner Euklidischen Welt, aber dennoch lassen sich auf diesen anderen Axiomen/Grundwahrheiten eine widerspruchsfreie Welt (auch Theorie genannt) aufbauen.
Aber davon erzähle ich Dir mal mehr in einem anderen Brief.
Fühl Dich gedrückt!
Deine 3,7
PS: Was ich noch erwähnen wollte: es gibt übrigens auch endliche Welten. Wie zum Beispiel die Fano-Ebene. Die Bewohner dort kennen nur zwei Zahlen: 0 und 1. Mit diesen Zahlen können sie genau so gut rechnen, wie wir mit unseren natürlichen Zahlen! Das einzig Besondere bei den Fanoesen jedoch ist, dass bei ihnen 1 + 1 = 0 gilt. Die Fanoesen kennen also gar keine 2. Es gibt schon wirklich verrückte Welten!
