Lieber Erdling,
geht es Dir gut heute? Rudi und ich sind bestens gelaunt. Die Sonne scheint und wir lassen es uns im Garten gut gehen. Während ich ein spannendes Buch gelesen habe, ist Rudi quietschend um den Blumensprinkler gehüpft und hat sich nass spritzen lassen. Was für ein Gaudi, sag ich Dir! Dann haben wir es uns auf der Schaukel gemütlich gemacht, haben die Füße baumeln lassen und ein Schokoeis geschleckt. Mmmhhh, das war so lecker! Wir würden bestimmt immer noch auf der Schaukel faulenzen, wenn Rudi nicht ein neues Quirkblatt entdeckt hätte. Und ab da haben wir ganz viel mit bunten Murmeln rumgespielt. Das haben wir schon lange nicht mehr gemacht. Aber mal von vorn. Auf dem Quirkblatt stand heute folgende Frage:
Auf wie viele verschiedene Arten kann man 3 verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe anordnen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für 4, 5 oder gar beliebig viele verschiedenfarbige Kugeln?
Husch! So schnell habe ich Rudi noch nie fliegen sehen. Und schwuppdiwupp war er mit seinem Murmelbeutel wieder zurück. Wir nahmen eine rote, eine blaue und eine grüne Murmel heraus und haben versucht, diese auf unterschiedliche Weisen in eine Dreierreihe zu legen. Wenn Du magst, kannst Du es ja selbst erst einmal versuchen, bevor Du weiterliest. Wie viele Möglichkeiten findest Du?
Wir probierten und probierten. Aber so sehr wir uns auch anstrengten, wir fanden nur die folgenden 6 Möglichkeiten:
Aber gibt es vielleicht noch mehr Möglichkeiten? Wie viele hast Du denn gefunden? Ich glaube, wir müssen da genauer darüber nachdenken. Fangen wir vielleicht einfach mal mit nur 2 Kugeln an. Da ist es ja ganz einfach. Wir haben zwei freie Plätze
und zwei Kugeln: eine blaue und eine rote. Für den ersten Platz (ganz links) haben wir 2 Möglichkeiten. Die erste Kugel ist entweder blau oder rot. Für den zweiten freien Platz haben wir dann keine Wahl mehr, denn es bleibt nur eine Kugel für den letzten freien Platz übrig. Haben wir den ersten Platz mit der blauen Kugel gefüllt, muss auf den zweiten Platz die rote. Haben wir dagegen den ersten Platz mit der roten Kugel belegt, muss auf den zweiten die blaue:
Es gibt also genau 2×1 = 2 Möglichkeiten und wir haben definitiv keine vergessen!
Versuchen wir es jetzt mal mit drei Kugeln. Hier haben wir zu Beginn drei freie Plätze.
Für den Platz ganz links haben wir 3 Kugeln zur Auswahl. Die erste Kugel ist entweder grün, blau oder rot. Haben wir den ersten Platz belegt, zum Beispiel mit der grünen Kugel, dann haben wir für die beiden freien Plätze
nur noch zwei Kugeln übrig. (Im Beispiel nur die blaue und die rote.) Dafür kennen wir aber schon die Lösung! Dafür gibt es genau 2×1 = 2 Möglichkeiten. Die einzigen Anordnungen unserer Kugeln, wo die grüne Kugel ganz links liegt, sind
Mehr gibt es nicht! Ähnlich finden wir genau zwei Möglichkeiten, wo die blaue Kugel ganz links liegt
und genau zwei Möglichkeiten, wo die rote Kugel ganz links liegt.
Damit haben wir alle Möglichkeiten für die erste Kugel durchprobiert und somit alle Möglichkeiten gefunden, drei verschiedenfarbige Kugeln in einer Dreierreihe anzuordnen. Es sind also genau die 3×2×1 = 6 Anordnungen, die wir schon gefunden haben.
Super, das war ja gar nicht so schwierig, oder?! Und wie viele Möglichkeiten gibt es bei vier Kugeln? Rudi holt noch eine gelbe Kugel aus dem Beutel und fängt fleißig an, bunte Reihen zu legen. Aber bald gibt er genervt auf. „Na, Rudi, warum denken wir nicht weiter in Ruhe nach?“, muntere ich ihn auf. Also, es gibt vier freie Plätze:
Für den ersten Platz haben wir 4 mögliche Kugeln zur Auswahl. Haben wir eine Kugel ausgewählt (zum Beispiel die gelbe),
haben wir für den zweiten Platz noch 3 Kugeln zur Auswahl (in unserem Beispiel die rote, die blaue und die grüne). „Hah!“, ruft Rudi aufgeregt, „Diese 3 Kugeln können wir auf genau 3×2×1 = 6 Arten anordnen! Das haben wir ja gerade herausgefunden.“ Na, das hat mein kleiner Schnellmerker Rudi aber gut beobachtet! Es gibt also genau 6 mögliche Anordnungen mit 4 Kugeln, wo die gelbe Kugel ganz links liegt. Genauso finden wir heraus, dass es jeweils genau 6 Möglichkeiten gibt, wo links die grüne Kugel, die blaue Kugel beziehungsweise die rote Kugel liegt. Insgesamt gibt es also 4×3×2×1 Möglichkeiten, 4 verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Rudi holt gleich seinen Taschenrechner hervor und rechnet das schnell aus. „24“, ruft er jubelnd. Wow. Da hätten wir aber ganz schön rumprobieren müssen, um all diese Möglichkeiten zu finden!
Na, erkennst Du schon ein Muster? Bei zwei Kugeln hatten wir 2×1 = 2 Möglichkeiten. Bei drei Kugeln waren es 3×2×1 = 6 und bei vier Kugeln bereits 4×3×2×1 = 24 Möglichkeiten. Ich denke, Du erkennst das Muster, oder?! Mit 5 verschiedenfarbigen Kugeln gibt es 5×4×3×2×1 = 120 mögliche Anordnungen. Ganz klar, stimmt’s?! Für den ersten Platz haben wir 5 Kugeln zur Auswahl und die restlichen 4 Plätze können wir mit den 4 verbliebenen Kugeln auf genau 4×3×2×1 Arten füllen.
Und mit diesem Argument können wir sogar ganz schnell ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 10 verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Na, kannst Du das ausrechnen? Nein?! Naja, im Kopf kann ich das auch nicht, aber ich weiß zumindest, dass es genau
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
Möglichkeiten gibt. Wenn ich gaaanz viel Langeweile gehabt hätte, hätte ich das sicher auch selbst ausrechnen können, aber Rudi tippt schon fleißig in seinen Taschenrechner und ruft „Das sind also 3628800 Anordnungen!“ Puh, wieder so eine große Zahl! Was, Du kannst die Zahl nicht lesen?! Dann lass sie uns wieder mit ein paar Hilfspunkten unterteilen und dann wird es einfacher: 3.628.800. Es sind also
Dreimillionen.sechshundertachtundzwanzigtausend.achthundert
Achja! Vergiss nicht, beim Unterteilen in Dreiergruppen immer schön von hinten anzufangen!
So, bevor Rudi und ich gleich den Sonnenuntergang genießen, verrate ich Dir noch, dass Mathematiker ein ziemlich schreibfaules Völkchen sind! (Pssst! Das ist ein Geheimnis! Aber ich denke, bei Dir ist es sicherlich gut aufgehoben, oder?!) Sie haben keine Lust, ständig so lange Sachen wie
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
zu schreiben. Und deswegen haben sie ihre eigene Geheimsprache entwickelt, die für viele Erdlinge ziemlich unverständlich ist. Dabei ist sie gar nicht so schwierig. Aber man muss sie natürlich auch lernen und hin und wieder üben. Anstatt
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
schreiben Mathematiker übrigens nur
10!
und sie lesen und sprechen das als „10 Fakultät“. Um 10! auszurechnen, muss man also alle Zahlen von 1 bis 10 miteinander multiplizieren. (Die sind oben nur in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben.) Verstanden? Ja?! Dann weißt Du jetzt bestimmt auch, was Mathematiker meinen, wenn sie 7! auf ein Blatt Papier kritzeln, oder?! Und, kannst Du 7! auch ausrechnen? Du darfst gerne auch Deinen Taschenrechner benutzen.
Oh, die Sonne geht unter! Wow, was für wundervolle Farbkombinationen! Gelb, grün, blau, rot, …Rudi ist schon eingeschlafen und träumt sicherlich davon, auf wie viele verschiedene Arten er die 11 Farben des Sonnenuntergangs anordnen könnte. Weißt Du es?
Gute Nacht für heute!
Deine 3,7
PS: Mathematiker haben für all diese Anordnungen von Kugeln oder anderen Sachen einen Code-Namen erfunden, den sie verwenden, damit sie nicht jeder verstehen kann: Permutationen.
