17. MIT DEM REST KANNST DU RECHNEN!

Lieber Erdling,

na, hast Du noch ein wenig mit den Teilbarkeitsregeln und mit Primzahlen herumgespielt, von denen ich Dir in meinen letzten beiden Briefen geschrieben habe? Die Teilbarkeitsregeln sind zwar ziemlich cool, aber so richtig zum rechnen geeignet sind sie dann doch nicht. Ist mehr eine kleine Spielerei. Interessanter ist da, dass man mit Resten fast genauso rechnen kann, wie mit anderen ganzen Zahlen auch. Aber lass mich Dir das mal am Beispiel zeigen. Du kannst ja sicherlich folgende Zeile lesen:

9+16 = 25.

Das Gleichheitszeichen sagt aus, dass zwei Dinge gleich sind. In diesem Falle das Ergebnis von 9 + 16 und 25. Es gibt aber noch andere Arten von Gleichheitszeichen. Die drücken aus, dass zwei Dinge bezüglich einer bestimmten Eigenschaft gleich sind, also zur gleichen Gruppe gehören. Zum Beispiel sind Paul und Simon zwar zwei verschiedene Jungen, aber sie sind beide Jungen (eine gleiche Eigenschaft). Wenn wir es ganz genau nehmen, sind 9 + 16 und 25 zwei unterschiedliche Dinge, die aber denselben Wert, nämlich 25, haben.

Genauso können wir nun Zahlen als gleich ansehen, wenn sie beim Teilen durch eine bestimmte Zahl den gleichen Rest lassen. Dafür brauchen wir aber auch eine neue Schreibweise, sonst kommen wir ja ganz durcheinander. Mathematiker mussten hier also notgedrungen ihre Geheimsprache erweitern, ob sie das nun wollten oder nicht. Sie tun das also nicht immer nur, um uns zu ärgern. Aber vielleicht hat es ihnen ja trotzdem ein wenig Spaß gemacht.

Mathematiker schreiben also geheimnisvoll

22 7 mod 5,

lesen das als „22 ist kongruent 7 modulo 5“ und meinen mit diesen komischen Worten eigentlich nur, dass 22 und 7 beim Teilen durch 5 den gleichen Rest lassen. (Welchen?) Ich weiß, man kann es auch wirklich kompliziert machen! Das Gleichheitszeichen hat außerdem drei und nicht nur zwei Striche! Puh! Andererseits, Du kannst Dir ja gerne mal überlegen, wie man das einfacher aufschreiben könnte, ohne dass man das mit etwas anderem verwechseln könnte. Hast Du eine bessere Idee?

Auch wenn das alles auf den ersten Blick kompliziert aussieht, ist es gar nicht so schwer. Du kannst sicher jetzt auch

12 27 mod 3

lesen und vor allem, Du kannst es jetzt sogar verstehen! Oder nicht?! 12 ist kongruent 27 modulo 3. Was nichts anderes heißt, als dass 12 und 27 den gleichen Rest beim Teilen durch 3 lassen. (Nämlich den Rest 0.) Besonders toll ist aber, dass man mit Resten im Prinzip genauso gut rechnen kann, wie mit Zahlen und Gleichungen auch. Eine superwichtige Rechenregel besagt, dann man in jedem noch so wilden Ausdruck jede Zahl (außer im Exponenten) durch ihren Rest beim Teilen ersetzen kann, ohne den Rest des wilden Ausdrucks selbst zu verändern. Was?! Du verstehst nur Bahnhof?! Na, dann schauen wir uns doch mal die Aufgabe aus meinem vorletzten Brief an: Welchen Rest lässt 62015 – 1 beim Teilen durch 5?

Wenden wir hier mal die einfache Rechenregel auf 62015 – 1 an: 6 lässt beim Teilen durch 5 den Rest 1 (also 6 1 mod 5) und daher lässt 62015 – 1 beim Teilen durch 5 den gleichen Rest wie der Ausdruck 12015 – 1, also

62015 – 1 12015 – 1 mod 5

Nun ist aber 1 beliebig oft mit sich selbst multipliziert immernoch 1, also 12015 = 1, und damit gilt

62015 – 1 12015 – 1 0 mod 5

Mit anderen Worten, 62015 – 1 lässt beim Teilen durch 5 den Rest 0, ist also durch 5 teilbar. Das hatte ich Dir ja im vorletzten Brief auch schon anders gezeigt. Du siehst aber, je mehr coole Hilfsmittel man zur Hand hat, umso einfacher kann man manche Aufgaben lösen.

Jetzt kannst Du sicherlich auch leicht ohne Taschenrechner ausrechnen, welchen Rest 23 + 53 beim Teilen durch 3 lässt, oder?!

23 + 53 23 + 23 8 + 8 2 + 2 4 1 mod 3

Jaja, Du hast sicher auch schon 8+8 im Kopf ausrechnen können, aber ich wollte Dir nochmal zeigen, dass man die Vereinfachungsregel auch mehrfach anwenden kann. Dann benötigt man vielleicht mehr Schritte, aber die Rechnungen selbst bleiben total einfach. Noch einfacher als 8+8.

Wie jetzt?! Du findest dieses Rechnen mit Resten total langweilig?! Nunja, dann verrate ich Dir, dass jene Verschlüsselungssysteme, von denen ich in meinem letzten Brief schrieb, neben Primzahlen genau dieses Rechnen mit Resten benutzen. Allerdings mit viiiel größeren Zahlen und natürlich mit Computern! Das mag und vor allem kann kein Erdling mehr von Hand rechnen. Na, immernoch langweilig?!

So, ich schau jetzt mal, was Rudi eigentlich so treibt. Es ist verblüffend ruhig im Garten. Der Schlingel stellt bestimmt gerade wieder irgendetwas Schelmisches an. Vielleicht streicht er den Rasen Halm für Halm schachbrettartig schwarz und gelb an. Ohje! Oder noch schlimmer: pink und neongrün. Urgh!

Liebe Grüße
Deine 3,7

PS: Wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal ohne Taschenrechner ausrechnen, welchen Rest 55 + 77 beim Teilen durch 3 lässt. Zur Probe kannst Du 55 + 77 ja mal mit dem Taschenrechner ausrechnen und dann mithilfe der Quersummenregel oder halt auch mit dem Taschenrechner den Rest bestimmen, den 55 + 77 beim Teilen durch 3 lässt.

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