35. Pascalsches Dreieck

Lieber Erdling,

na, kannst Du die binomischen Formeln noch im Schlaf herbeten?

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Das ist die erste der binomischen Formeln, richtig?! Okay, das war leicht. (Na gut, das ist vielleicht Ansichtssache.) Aber was kommt heraus, wenn man (a+b)3 ausmultipliziert? Oder (a+b)4? Oder gar (a+b)5 oder (a+b)10? Meinst Du, Du wirst Dir auch hierfür eine Formel merken oder zumindest leicht herleiten können?

Du wirst erstaunt sein! Das merkst Du Dir sogar noch leichter als die drei binomischen Formeln aus meinem letzten Brief. Aber fangen wir erst einmal an:

(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2 + 2ab + b2)(a+b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Das glaubst Du nicht?! Na, dann mal viel Spaß beim Nachrechnen! Und wenn Dir gerade besonders langweilig ist, dann kannst Du sicherlich auch nachrechnen, dass

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

gilt. Ja, Du hast Recht. Das macht keinen wirklichen Spaß. Vielleicht kann man sich diese Formeln aber ganz leicht merken? Hmm…mal schauen.

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1×a + 1×b

(a+b)2 = 1×a2 + 2×ab + 1×b2

(a+b)3 = 1×a3 + 3×a2b + 3×ab2 + 1×b3

(a+b)4 = 1×a4 + 4×a3b + 6×a2b2 + 4×ab3 + 1×b4

Ja, ja, ich weiß, die Koeffizienten 1 hätte ich auch weglassen können, aber sie sind hier ausnahmsweise mal wichtig, damit ich Dir das Muster erklären kann. Schauen wir uns mal die Koeffizienten genauer an und schreiben sie wie folgt auf:

Das sieht ja schon mal ganz hübsch aus und erinnert Dich bestimmt an Deine Spielklötzchenzeit im Kindergarten, was?! Du siehst, Mathematik ist eigentlich total babyeinfach!

Na, gut, schauen wir uns diese Pyramide mal genauer an. An den Seiten links und rechts ist eine Reihe von Einsen. Und dann…Magie, Magie! Jede andere Zahl ergibt sich gerade als Summe der zwei Zahlen über ihr. Also 2=1+1 oder 4=3+1. Zufall? Vielleicht. Um unsere Beobachtung weiter zu untermauern müssten wir noch ein paar Zeilen ausrechnen. Dann würden wir sehen, dass diese Beobachtung tatsächlich auch dort stimmt, zum Beispiel:

Wir haben also eine Vermutung gefunden und könnten nun daran gehen und beweisen, dass dies für alle Zahlen in dieser Pyramide gilt, die wir aus den Koeffizienten von (a+b)n erhalten, wenn wir den Exponenten n immer größer werden lassen. (Nein, nein, das wollen wir sehr sicher nicht per Hand machen! Nicht mal hier auf Pirk, wo das keine Zeit kosten würde. Es bleibt dennoch langweilig!) Der Beweis selbst soll uns heute auch gar nicht interessieren. Du kannst aber gerne mal überlegen, warum diese Summeneigenschaft gilt. Der Beweis ist nämlich gar nicht so kompliziert, aber eben noch nichts für den Kindergarten.

Mit diesem Wissen sollte es Dir jetzt nicht mehr schwerfallen, auch (a+b)10 auszurechnen, obwohl dies auch trotz Deines neuen Wissens eine Weile dauern wird. Es geht auf jeden Fall viel schneller, als (a+b)10 wirklich auszumultiplizieren!

Kleiner Tipp noch: Diese Pyramide hilft Dir auch, Ausdrücke wie (a-b)4 schnell auszurechnen:

(a-b)4 = (a+(-b))4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

Die Vorzeichen der Koeffizienten im Ergebnis sind also abwechselnd + und – und in meiner Rechnung ist auch gleich die Begründung enthalten, wo das – abwechselnd herkommt. (Siehst Du es?)

Die obige Pyramide ist auf Deinem Planeten recht bekannt als Pascalsches Dreieck, benannt nach dem französischen Erdling Blaise Pascal, der im 17. Jahrhundert Deiner Erdenzeit lebte. Du hast aber oben selbst gesehen, dass dieses „Dreieck“ wirklich babyeinfach ist und so ist es nicht verwunderlich, dass schon vor Blaise Pascal andere Erdlinge dieses Koeffizienten-Dreieck entdeckt haben. Im irdischen China spricht man zum Beispiel vom Yang-Hui-Dreieck und in Italien vom Tartaglia-Dreieck. Hier auf Pirk ist es übrigens als Rudis magische Pyramide bekannt. Auch wenn diese Bezeichnung auf den Pirk Ernando Rudi zurückgehen soll, behauptet mein kleiner Rudi vehement, dass das nicht stimmt, da er diese Pyramide vor einer gefühlten Ewigkeit beim Klötzchen-Spielen im Kindergarten gefunden haben will. Ja, ja, mein kleiner Rudi. Lach.

Warum „magische“ Pyramide, fragst Du Dich?! Nun, ganz einfach. Diese Pyramide hat tatsächlich viel Magie in sich! Was siehst Du neben der Reihe 1, 1, 1, 1, …? Richtig! Die Reihe 1, 2, 3, 4, 5, … der natürlichen Zahlen! (Okay, die Null ist nicht dabei.) Und als nächste Reihe? 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … das sind gerade die Summen der ersten n natürlichen Zahlen, zum Beispiel 15=1+2+3+4+5. Also, wenn das keine Magie ist!

Du bist noch nicht begeistert? Hmm. Na gut. Dann zähle doch mal die Zahlen je Zeile zusammen! Entdeckst Du ein Muster? Und, kannst Du es beweisen? Das Wissen habe ich Dir in diesem Brief mitgegeben. Nun liegt es an Deiner Kreativität, es zu verwenden.

Liebe Grüße
Deine 3,7

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.