38. SÄTZE AM KREIS

Lieber Erdling,

na, wie hat Dir mein Brief über den Satz des Thales gefallen? Ich bin mir sicher, Du magst nun noch mehr über Sätze am oder im Kreis erfahren, oder?! Da gibt es wirklich echt coole Sachen! Zum Beispiel ist der Satz des Thales nur ein Spezialfall eines anderen Satzes.

Ein Zentriwinkel ist doppelt so groß wie ein Peripheriewinkel über der gleichen Sehne.

Zentri-Peripheriewinkelsatz

Ja, ein Bild hilft hier sicher wieder enorm, um die Begriffe und den Satz besser zu verstehen:

Hier ist AB die Sehne und der Winkel α der Mittelpunkts-oder Zentriwinkel über der Sehne. Und egal wo wir den dritten Punkt (hier C oder D) einzeichnen, der entstehende Peripheriewinkel β soll genau halb so groß wie der Winkel α sein. (Deswegen habe ich ihn schon mal gleich genannt.)

Aus dem Zentri-Peripheriewinkelsatz folgt dann sofort der Satz von Thales, wenn wir als Sehne AB den Durchmesser des Kreises nehmen, denn dann ist α = 180° und somit β = α/2 = 90°. Aber viel cooler ist sind die folgenden Konsequenzen, zum Beispiel:

Peripheriewinkel über der gleichen Sehne sind stets gleich groß.

Peripheriewinkelsatz

Der Peripheriewinkel β ist immer halb so groß wie der Zentriwinkel α, und α ändert sich nicht, wenn man mit dem dritten Punkt C auf der Peripherie wandert. Also ist der Peripheriewinkel immer gleich, egal wo man den Punkt C auf der Peripherie einzeichnet. Cool und überraschend, oder?!

Das gleiche gilt natürlich für Peripheriewinkel unter einer Sehne. Drehe einfach mal den Kreis, dann ist ja nicht klar, was über oder unter der Sehne ist. Dieser Peripheriewinkel ist also auch über der Sehne AB. Alles eine Frage des Blickwinkels. Jedoch musst Du bei einem Punkt C unter der Sehne AB im obigen Bild etwas aufpassen, da sich der Mittelpunkt M auf der anderen Seite wie C befindet. Der Zentriwinkel ist hier dann genau der Winkel 360°-α. Der Peripheriewinkel unter einer Sehne hat also stets die Größe 180°-α/2 = 180°-β und wir erhalten folgenden Satz:

Die Peripheriewinkel auf gegenüberliegenden Seiten einer Sehne ergänzen sich stets zu 180°.

Dieser Satz ist aber besser bekannt in der folgenden Form:

Die gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks ergänzen sich stets zu 180°.

Satz über Sehnenvierecke (1. Teil)

Ein Viereck heißt hierbei Sehnenviereck, wenn es einen Umkreis besitzt, seine 4 Eckpunkte also auf einem Kreis liegen. (Damit sind die 4 Seiten des Vierecks Sehnen des Kreises. Daher die Bezeichnung Sehnenviereck.)

Interessanterweise gilt auch die Umkehrung (was Du Dir sicherlich selbst leicht überlegen kannst, warum dies so ist):

Ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel eines Vierecks zu 180°, so ist das Viereck ein Sehnenviereck (und besitzt damit einen Umkreis).

Satz über Sehnenvierecke (2. Teil)

All das (und noch viel mehr!) folgt aus dem so unschuldig einfach erscheinenden Zentri-Peripheriewinkelsatz!

Tja, jetzt müssen wir den nur noch beweisen, damit all die schönen Folgerungen auch richtig sind. Aber wie machen wir das? Nun, lass mich Dir hier mal den Beweis für einen Fall erklären: M und C liegen auf der gleichen Seite der Sehne AB und M liege innerhalb des Dreicks ABC. Wie schon oben erwähnt, können M und C auch auf verschiedenen Seiten von AB liegen oder M nicht innerhalb des Dreiecks ABC. Diese Fälle müssen in einem vollständigen Beweis alle sauber untersucht werden. Sie funktionieren aber prinzipiell alle nach dem gleichen Prinzip wie im Fall, dass M und C auf der gleichen Seite der Sehne AB und M innerhalb des Dreicks ABC liegen. (Du kannst diese anderen Fälle ja gerne mal selbst versuchen zu beweisen!)

Malen wir uns zuerst ein neues Bild und bezeichnen wir alle Winkel, die wir brauchen. Um Dich etwas zu verwirren, oder sollte ich sagen: um Dein Verständnis für den mathematischen Inhalt zu schulen ;-), bezeichnet β im folgenden Bild einen ganz anderen Winkel als oben. Lach. Mein Flugdrache Rudi fand das am Anfang auch frech von mir, aber mittlerweile hat er sich daran gewöhnt und mag es sogar! Wichtig ist ja schließlich nur, dass am Anfang alles ordentlich bezeichnet wird, so dass jeder weiß, wovon geredet bzw. geschrieben wird.

Wie Du siehst, haben wir wieder eine hilfreiche Strecke, hier MC, eingezeichnet, die unseren Beweis kindergartenleicht machen wird.

Also, was wollen wir zeigen? Richtig!

α = 2•(δ + ε)

Das war doch gar nicht so schwer, das wieder aus dem Bild abzulesen, wenn man verstanden hat, welche Aussage man aufschreiben möchte, oder?!

Wie beim Beweis vom Satz von Thales verwenden wir wieder den Satz, dass in gleichschenkligen Dreiecken die Schenkelwinkel gleich groß sind. Von daher tauchen die Winkel δ und ε im Bild entsprechend doppelt auf. Da sich die Winkel in einem Dreieck zu 180° ergänzen, erhalten wir

β = 180° – 2δ,
γ = 180° – 2ε.

Des Weiteren gilt offenbar

α = 360° – β – γ

und nach Einsetzen der Ausdrücke β = 180° – 2δ und γ = 180° – 2ε erhalten wir sofort

α = 360° – β – γ = 360° – (180° – 2δ) – (180° – 2ε) = 2δ + 2ε = 2•(δ + ε).

Also ist der Zentriwinkel α bei M genau doppelt so groß wie der Peripheriewinkel δ + ε bei C.

q.e.d.

Hach! Einfach herrlich diese elegante Einfachheit der Argumentation. Du hättest Rudis strahlendes Gesicht sehen sollen, als er aus dem Kindergarten heim kam und mir davon erzählte.

Ganz liebe Grüße aus der Ferne!
Deine 3,7

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