28. WIE GUT SIND DIE CHANCEN?

Lieber Erdling,

na, hast Du gut geschlafen? Oder hast Du noch geknobelt? Ja?! Dann hast Du sicherlich auch herausgefunden, dass die 11 Farben unseres Sonnenuntergangs auf genau 11! verschiedene Arten angeordnet werden können. Rudi war so lieb und hat mir das auf seinem neuen Taschenrechner gleich ausgerechnet. (Der hat sogar direkt eine Taste dafür! Wow. Was es alles so gibt!)

11! = 11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 39.916.800

Das sind fast 40 Millionen Möglichkeiten! Wenn Du bei Dir zu Hause jeden Abend eine andere solche Farbkombination bewundern könntest, dann würdest Du erst nach über 109.361 Erdenjahren (!) eine Kombination erneut sehen. Aber wer weiß, ob man sich nach so langer Zeit überhaupt an das erste Mal erinnern könnte. Thema erinnern: erinnerst Du Dich noch an das Code-Wort, das Mathematiker für diese Anordnungen haben? Genau, die heißen Permutationen.

Ich denke, das Spielen mit den Kugeln hat Dir bestimmt viel Spaß gemacht und während des Anordnens oder des Knobelns, wie viele Möglichkeiten es gibt, hast Du Dich vielleicht auch gefragt, ob das wirklich nur Spielerei ist oder ob man dieses Zählen vielleicht noch woanders wirklich gebrauchen könnte. Du wirst staunen! Dieses Zählen von Permutation ist echt nützlich. Zum Beispiel, wenn man seine Chancen bei einem Spiel einschätzen möchte.

Lass mich mal mit einem einfachen Spiel anfangen: wir werfen eine Münze. Die hat zwei Seiten „Kopf“ und „Zahl“. Zeigt die Münze nach dem Wurf „Kopf“, gewinnst Du, zeigt sie „Zahl“, gewinne ich. Wie gut sind Deine Chancen zu gewinnen? Das ist babyeinfach?! Stimmt. Die Münze kann nur zwei mögliche Ergebnisse zeigen: „Kopf“ oder „Zahl“. Und bei einem Ergebnis gewinnst Du. Wenn wir also ganz lange, am besten unendlich lange, wieder und wieder spielen, wirst Du im Schnitt die Hälfte der Spiele gewinnen. Die andere Hälfte der Spiele gewinne ich. Man schreibt dafür auch, Deine Chancen zu gewinnen sind 1:2. (2 mögliche Ergebnisse und eines davon ist gut für Dich.)

Oder wir würfeln unendlich oft mit einem ganz normalen Würfel, wie Du ihn kennst. Mit Zahlen von 1 bis 6. Du gewinnst, wenn der Würfel eine 6 zeigt und ich sonst. Dann gewinnst Du im Schnitt ein Sechstel aller Spiele. (6 mögliche Ergebnisse und nur eines davon ist gut für Dich.) Deine Chancen zu gewinnen sind also 1:6. Das ist nicht fair, meinst Du?! Na gut, dann gewinnst Du eben, wenn der Würfel eine 2, 4 oder 6 zeigt und ich sonst. Dann gewinnst Du bei 3 der 6 möglichen Ergebnisse des Würfels. Deine Chancen zu gewinnen sind also 3:6 = 1:2, genau wie beim Münzwurf. (Stell Dir einfach vor, auf der einen Seite der Münze sind die drei Zahlen 2, 4 und 6 und auf der anderen Seite die drei Zahlen 1, 3 und 5 aufgedruckt.)

Man kann seine Chancen also ausrechnen, wenn man die Anzahl der guten Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilt. Okay, ein Mathematiker würde hier wieder den Kümmel spalten und sagen: „Jaja! Das stimmt. Aber nur, wenn alle Ergebnisse auch mit der gleichen Chance auftreten können. Wenn jemand mit falschen Würfeln spielt, bei dem zum Beispiel die 1 öfter und die 6 weniger oft gewürfelt wird, dann stimmt das natürlich nicht mehr!“ Aber gut, wir spielen ja fair, nicht?!

So, lieber Erdling, wir haben jetzt also gesehen, dass Deine Chancen, beim Münzwerfen zu gewinnen, bei 1:2 stehen. Jetzt stell Dir vor, wir fangen an und werfen die Münze wieder und wieder und stell Dir vor, Du verlierst gleich die ersten 10 Mal hinter einander! Klar, da wirst Du jetzt sicherlich anfangen und keine Lust mehr haben, mit jemanden zu spielen, der offensichtlich schummelt. Schließlich hättest Du ja eigentlich die Hälfte der Münzwürfe gewinnen sollen! Tja, da kann ich jetzt wohl lange meine Unschuld beteuern. Du wirst mir nicht glauben. Von daher lass mich versuchen, Dir zu erklären, dass es durchaus möglich ist, 10 Mal beim Münzwerfen hintereinander zu gewinnen oder zu verlieren, auch wenn es recht selten passiert. Es war halt einfach Pech (für Dich), dass dies gleich am Anfang unseres Spiels passierte. Wenn wir noch länger spielen, wirst auch Du irgendwann 10 Mal hintereinander gewinnen. Versprochen!

Also dann, lass es mich erklären. Bei jedem Wurf hat jeder von uns beiden die gleiche Chance zu gewinnen. (Wir spielen ja mit einer fairen Münze. Glaub mir!) Die Ergebnisse der einzelnen Münzwürfe sind auch unabhängig voneinander, da die Münze ja kein Gedächtnis hat. Bei zwei Münzwürfen gibt es also insgesamt 4 mögliche Wurfergebnisse:

KK, KZ, ZK, ZZ,

wobei K für „Kopf“ und Z für „Zahl“ stehen soll. Alle vier Wurfergebnisse haben die gleiche Chance 1:4 aufzutreten. Bei drei Münzwürfen gibt es bereits insgesamt 8 mögliche Wurfergebnisse:

KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ,

die alle mit gleicher Chance, also 1:8 auftreten können. Und bei 10 Würfen? Wie viele mögliche Wurfergebnisse gibt es da? Puh, die könnten wir versuchen, alle einzeln aufzuschreiben, aber wir denken besser vorher mal nach, ob wir diese langweilige und langwierige Lösung auch anders hinbekommen.

Das Ergebnis von 10 Münzwürfen können wir kurz mit

**********

aufschreiben, wobei wir für jedes * unabhängig voneinander entweder K oder Z einsetzen. Dafür gibt es genau

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 1024

Möglichkeiten. Es gibt also 1024 verschiedene mögliche Ergebnisse für 10 Münzwürfe hintereinander. Und jede dieser Möglichkeiten hat die gleiche Chance aufzutreten! Also auch die Möglichkeit ZZZZZZZZZZ, bei der Du 10 Mal hintereinander verlierst. 1:1024 ist keine wirklich große Chance, dass dies einmal mal passiert, aber es passiert eben irgendwann mal! Keiner weiß wann, aber irgendwann wird es passieren, wenn wir lange genug spielen. Bei uns passierte es nun leider ganz am Anfang. Das ging für Dich also nicht gut los. Aber wenn wir weiterspielen, wirst Du Dich irgendwann auch über KKKKKKKKKK, also 10 gewonnene Spiele hintereinander, freuen können! (Da werde ich dann wohl etwas knirschig werden.)

So unglaublich es auch klingen mag, wenn wir gaaanz lange spielen, wird es irgendwann passieren, dass jeder von uns sogar eine Million Mal hintereinander gewinnen oder verlieren wird. Einer von uns beiden wird da echt keinen guten Tag haben. Aber das passiert hoffentlich nicht heute! Also, lass uns weiterspielen und dann später glücklich einschlafen. „Kopf!“ Na bitte, diesmal hast Du gewonnen.

Ganz liebe Grüße
Deine 3,7

PS: Mathematikern macht es ebenfalls keinen Spaß 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 zu schreiben. Schreibfaul wie sie sind, kürzen sie dies mit 210 ab und lesen dies als „2 hoch 10“. Ähnlich machen sie dies auch mit anderen Zahlen, also zum Beispiel 35 = 3×3×3×3×3. Die Chance, dass Du eine Million Mal hintereinander beim Münzwerfen verlierst, ist in dieser Geheimschrift übrigens 1:21000000. Diese Chance ist zwar extrem klein, aber eben doch vorhanden! Und wir müssen nur lange genug spielen, um das zu auch zu erleben. Klingt unglaublich, ich weiß. Ist aber so.

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