8. WILDE FORMEL IM QUADRAT

Lieber Erdling,

nachdem wir erfolgreich die Summenformel für 1+2+3+4+5+…+n gefunden und uns freudig tanzend ausgetobt hatten, haben Rudi und ich noch ein wenig rumgespielt und nach mehr Formeln gesucht. Und dabei haben wir etwas Erstaunliches entdeckt! Wir haben nämlich versucht, eine Formel für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen zu finden. Und dabei fiel uns folgendes auf:

Diesmal haben wir durch die ersten kleinen Summen sofort selbst eine Vermutung gefunden: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt genau n×n. Doch wie konnten wir das nur ganz allgemein zeigen? Wir dachten kurz nach und es war gar nicht so schwierig! Die ersten n ungeraden Zahlen sind:

Jetzt wieder unser Rechentrick:

Alle Zwischenergebnisse aufaddiert und danach wieder brav halbiert, weil wir doppelt gezählt haben und wir bekommen als gesuchte Summe: n×(2×n):2, also n×n. Schnell auf das Quirkblatt geschrieben…plopp…und Sterne glitzern überall. Zeit für einen weiteren freudigen Tanz durch den Garten!

Doch da kommt mir eine Idee. „Warte mal, Rudi! Ich glaube, ich kann diese Formel noch anders begründen.“ Rudi stoppt mitten im Salto und fällt dadurch fast auf seine Nase. Was für ein Tollpatsch! Aber dann kommt er flink zu mir und schaut mir gespannt über die Schulter, wie ich ein paar Bildchen male.

„Also, Rudi, die Zahlen 1×1, 2×2, 3×3 und so weiter habe ich schon mal gesehen. So viele Felder haben quadratische Schachbretter mit 1, 2, 3 Kästchen pro Seite. Und jetzt schau Dir an, um wie viele Felder sich zwei Schachbretter aufeinander folgender Größe unterscheiden. Ich habe die mal gelb angemalt.“ Ich bin noch gar nicht fertig mit meiner Erklärung, da ist Rudi schon fleißig am Zählen. „Also erst ist es ein Quadrat, dann sind es drei, dann 5, 7, 9, 11. Hey, cool! Das sind ja immer genau zwei mehr. Und immer genau eine ungerade Anzahl!“

„Stimmt.“, antworte ich, „Und die ersten n gelben Winkel füllen zusammen genau ein n x n-Schachbrett mit n×n Feldern aus. Und damit haben wir unsere Summenformel einfach durch ein schickes Bildchen bewiesen.“ Rudi grinst. „Cool!“

So, lieber Erdling, wir malen jetzt noch ein wenig mit unseren Buntstiften bunte Bilder. Vielleicht finden wir ja noch etwas Tolles heraus.

Bis zum nächsten Brief!
Deine 3,7

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