33. FANO-EBENE

Lieber Erdling,

gerade sitze ich mit Rudi in unserem Lieblings-Café und wir trinken unsere Lieblings-Schokolade mit Pfefferminz-Blättern. Mmmhhh! Sowas von lecker! Dabei bewundern wir ein wunderschönes Bild einer Fano-Ebene.

Vielleicht kannst Du Dich ja noch an meinen letzten Brief erinnern. Darin habe ich Dir von wundersamen Welten erzählt, in der sich parallele Gerade im Unendlichen schneiden, auch wenn dies kein Erdling je überprüfen könnte. Und dann gibt es da noch endliche Welten. Die kleinste davon ist die sogenannte Fano-Ebene. In dieser Ebene gibt es nur 7 Punkte, im Bild A, B, C, D, E, F und G genannt. Und es gibt 7 Geraden, auch wenn diese ganz anders aussehen, als Du sie von der Erde kennst. Denn in der Fano-Ebene hat jede Gerade genau 3 Punkte (und nicht unendlich viele wie auf der Erde oder hier auf Pick). Diese 7 Geraden sind:

{A,F,B}
{B,D,C}
{C,E,A}
{A,G,D}
{B,G,E}
{C,G,F}
{D,E,F}

Die ersten 6 Geraden findest Du im obigen Bild auch über gerade Linien verbunden wieder, auch wenn diese geraden Linien in der Fano-Ebene nicht wirklich existieren. (Dort gibt es ja nur die 7 fetten Punkte.) Die 7. Gerade ist durch einen Kreis dargestellt. (In Wirklichkeit liegen auf dieser Geraden aber nur die 3 Punkte D, E und F.) Ich weiß, das klingt alles etwas verrückt, aber genau so ist es nunmal in der Fano-Ebene.

Was aber noch viel verrückter ist, ist Folgendes:

i) Durch je zwei (verschiedene) Punkte der Fano-Ebene geht genau eine Gerade.
Genau wie in der Euklidischen Ebene auf der Erde.

ii) Je zwei (verschiedene) Geraden der Fano-Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam. (Sie schneiden sich also in diesem Punkt.)
Dies ist in der Euklidischen Ebene ja nicht immer so…da schneiden sich parallele Geraden nicht.

Dass dies so ist, kannst Du Dir ja mal selbst überlegen. Nimm Dir zwei beliebige Punkte und finde die Gerade, auf der beide Punkte liegen. Oder nimm Dir zwei Geraden und schau, welchen Punkt sie gemeinsam haben.

Mathematiker würden dies ganz trocken so zusammenfassen: Die Fano-Ebene ist eine endliche projektive Ebene. Gähn. Da bewundern Rudi und ich doch viel lieber noch eine Weile obiges schönes Bild.

Schokoladige Grüße
Deine 3,7

PS: Es gibt übrigens noch andere und auch viel größere endliche projektive Ebenen. Man kann zeigen, dass es für jede Primzahlpotenz n=pk eine projektive Ebene mit n2+n+1 Punkte und n2+n+1 Geraden gibt. (Die Fano-Ebene ergibt sich für n=21.) Interessanterweise weiß niemand, auch nicht hier auf Pirk, ob es auch für andere n solche endlichen projektiven Ebenen gibt oder nicht.

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